Ikosaedergruppe

Ikosaeder

Die Ikosaedergruppe ist die Punktgruppe des homogenen Ikosaeders (und des homogenen Dodekaeders, das dual zum Ikosaeder ist). Sie besteht aus den Drehungen und Spiegelungen, die das Ikosaeder in sich überführen und hat die Ordnung 120. Sie ist zu $A_{5}\times C_{2}$ isomorph, wobei $A_{5}$ die alternierende Gruppe der Ordnung 5 ist (Gruppe der geraden Permutationen von 5 Objekten) und $C_{2}$ die Zyklische Gruppe der Ordnung 2 ist (bestehend aus der Identität und der Raumspiegelung am Zentrum des Ikosaeders).

Die zu $A_{5}$ isomorphe Untergruppe, die Ikosaeder-Drehgruppe, besteht aus den orientierungserhaltenden Bewegungssymmetrien des Ikosaeders (Drehungen). Man kann diese Drehgruppe z. B. als Gruppe der geraden Permutationen der fünf einem regulären Dodekaeder einbeschriebenen Würfel realisieren. $A_{5}$ ist die kleinste einfache nicht kommutative Gruppe und hat Ordnung 60.

Die Ikosaedergruppe enthält fünfzählige Drehungen und ist somit inkompatibel mit kristalliner Fernordnung (siehe Raumgruppe). Quasikristalle besitzen dagegen häufig ikosaedrische Symmetrie.

Die Charaktertafel der Ikosaedergruppe enthält den goldenen Schnitt und verwandte Zahlen, was eine direkte Konsequenz der fünfzähligen Drehsymmetrie ist.

Da der Fußball aus einem Ikosaederstumpf abgeleitet ist, hat er auch die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe, ebenso wie auch das „Fußballmolekül“ C₆₀ (Buckyball).

Die Ikosaedergruppe hat vielfältige Anwendungen in der Mathematik, die in dem klassischen Werk von Felix Klein Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade dargestellt sind. Die allgemeine Gleichung fünften Grades hat nach der Galoistheorie keine Lösung in Radikalen, da $A_{5}$ nicht auflösbar ist (sie ist eine Endliche einfache Gruppe).

In der Kristallographie bezeichnet man die Drehgruppe des Ikosaeders mit dem Schoenfliess-Symbol $I$ und die vollständige Symmetriegruppe mit $I_{h}$.

Siehe auch

• Ikosaedergruppe - Artikel in der deutschen Wikipedia

Weblinks

• Icosahedral Group, Mathworld
• J. H. Eschenburg Das Ikosaeder und die Gleichung fünften Grades nach Felix Klein, pdf